Per scrivere l'equazione di moto del sistema rappresentato in figura in funzione della coordinata libera θ abbiamo trascurato la deformabilità assiale della forcella anteriore e abbiamo ipotizzato che la bicicletta, solidale al ciclista, si sposti a velocità costante su un terreno accidentato modellato con un’armonica di ampiezza e pulsazione casuali. Infatti è possibile modellare ogni irregolarità stradale come una sovrapposizione di armoniche in accordo col teorema di Fourier. Abbiamo inoltre considerato l’intera massa della bicicletta, comprensiva di quella del ciclista, concentrata nel suo baricentro, in modo da poter trascurare la massa e il momento di inerzia delle singole aste del telaio. Abbiamo poi ipotizzato che il ciclista muova gambe e braccia in modo da mantenere la posizione del suo baricentro costante nel tempo; di conseguenza il suo corpo non ruota e quindi il suo momento di inerzia è nullo. Consideriamo invece le ruote di massa non trascurabile. In assenza di spostamenti di vincolo la ruota anteriore è fissata a terra e pertanto la sua massa non rientra nell’energia cinetica del sistema, mentre in presenza di spostamenti di vincolo non può essere trascurata.
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Inizialmente non abbiamo considerato gli spostamenti di vincolo e, definita la cinematica del sistema in funzione della coordinata libera θ, siamo giunti alla seguente formulazione dell'equazione di moto del sistema in forma non lineare e lineare:
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EQUAZIONE DI MOTO NON LINEARE
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EQUAZIONE DI MOTo LINEARE
A partire dall'equazione di moto in forma lineare abbiamo potuto invece calcolare i principali parametri del sistema per diversi coefficienti di smorzamento della sospensione posteriore.
A partire dall'equazione di moto non lineare abbiamo potuto calcolare il precarico statico della molla della sospensione posteriore, quindi la lunghezza della stessa quando scarica e la forza di precarico statico:
Infine, a partire dall'equazione di moto in forma lineare e sempre per diversi valori di smorzamento della sospensione posteriore, abbiamo determinato la risposta del sistema in funzione del tempo:
Successivamente abbiamo considerato gli spostamenti di vincilo precedentemente definiti e, abbiamo calcolato le matrici di massa, di smorzamento e di rigidezza del sistema, nonchè la componente lagrangiana delle forze esterne (le reazioni vincolari), nella posizione di equilibrio statico; note queste componenti è stato possibile scrivere l'equazione del sistema in forma lineare.
EQUAZIONE DI MOTo LINEARE
EQUAZIONE DI MOTo LINEARE
Ci è stato quindi possibile definire la risposta del sistema; i seguenti grafici rappresentano gli spostamenti e la risposta del sistema per una pulsazione degli spostamenti di vincolo di 6,28 rad/s e un coefficiente di smorzamento della sospensione posteriore di 100 N*s/m:
Questo grafico rappresenta invece come varia la risposta del sistema in modulo e fase per differenti frequenze degli spostamenti di vincolo:
Infine abbiamo determinato le reazioni vincolari in corrispondenza della ruota anteriore (punto 8) e di quella posteriore (punto1), rappresentandole in modulo sempre per diversi valori della frequenza: